제어공학 - Analysis of Feedback system (피드백 시스템 분석) - 안정도, 민감도, 추적, 조절

제어 시스템은 2가지 타입으로 나뉩니다. 바로 Open-Loop와 Closed-Loop control type이며 결과를 반영한 피드백을 줄 수 있는 것은 Closed-Loop control system입니다.

이번 포스팅에서는 피드백 시스템에 대해서 좀더 깊게 더 들어가 보도록 하겠습니다. 

1) Stability (안정도)
2) Tracking (추적)
3) Regulation (조절)
4) Sensitivity (민감도) 

 

Closed-Loop control system

Closed Loop system

기본적인 Closed-Loop type의 제어 시스템은 위 그림과 같습니다. 마지막에 결괏값 Y가 다시 입력에 반영되는 형태로 되어있으며 전해질 때 Noise (V)가 같이 첨가가 되어서 올 수도 있습니다. 또한 결괏값과 입력값이 결합된 입력이 Controller를 지나서 Plant로 지나갈 때 외란 W가 첨가가 되기도 합니다. 

*Noise (노이즈): 측정시 발생하는 잡음을 의미함
*Disturbance (외란): 외부에서 영향을 주는 요인을 의미함

 

출력 Y와 E (입력 R 및 출력 Y 사이의 차이)를 식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

그리고 식을 좀더 간단하게 하기 위해서 아래의 S와 T를 각각 다음과 같이 정의합니다.  

S + T는 1값을 가지게 되며 S는 Sensitivity (민감도)를 의미하며 T는 1-S값을 가지므로 Complementary Sensitivity라고 지칭합니다.

S와 T를 활용하면 Y와 E는 아래와 같이 간단하게 정리가 됩니다.

이렇게 정리함으로서 우리는 4가지 제어 목표에 대해 분석할 수 있습니다. 바로 stability (안정도), tracking (추정 성능), regulation (외란에 대한 강건함) 그리고  sensitivity (신호에 대한 민감도)이며 각각에 대해서 다시 적어보겠습니다. 

 

1) Stability 

안정도는 제어시스템이 기본적인 요구사항이며 시스템 전달함수 (TF)의 모든 극점이 좌평면 (LHP)에 위치해야 안정될 수 있습니다. 

Open-Loop 시스템에서 G(s) (플랜트)의 전달함수의 분모 (a(s))에 극값이 만약 오른쪽 평면에 있을 경우 시스템이 불안정하게 됩니다. 하지만 Closed-Loop에서는 전달 함수가 아래와 같이 구성되며 분모는 ad+bc가 됩니다. ad+bc는 특성 방정식이며 이때 비록 플랜트의 전달 함수 분모 (극점, a(s))이 오른쪽에 있어도 특성 방정식의 극값이 최종적으로 모두 왼쪽 평면에 있다면 시스템은 안정적인 상태를 유지합니다. 

Closed-Loop의 전달함수식의 분모의 일반식 (특성방정식)

이러한 장점때문에 Closed-loop 시스템은 좀 더 자유도가 높으며 설계에 따라서 안정적인 시스템을 구성할 수 있습니다. 

예시를 하나 보곘습니다. 

 

Example - Governor problem by Maxwell (증기기관 설계와 관련된 문제) 

해당 시스템은 증기기관 설치 시에 속도를 제어하기 위해 Governor를 설치합니다. 그러나 역진자와 같이 생겼기에 제어가 반드시 필요한 상황입니다. 만약 Plant (G(s))만 있다면 pole값이 -1, 1이기에 unstable 합니다. 때문에 Controller를 부착하였으며 이때 해당 Controller는 Lead/Lag Controller라고 하며 해당 제어기는 다음에 다시 다루도록 하겠습니다. 

제어기가 결합된 전달함수식의 특성 방정식은 아래와 같습니다. 왼쪽식은 위에서 설명했던 ad+bc와 동일하다고 생각하시면 되겠습니다. 

이제 stable한 조건을 찾기 위해서 Routh stability criterion을 이용합니다.

Routh Stability Criterion에서 stable 조건이 만족하려면 왼쪽 열의 부호 변화가 없이 모두 1과 동일한 양수 값을 가져야 합니다. 때문에 각 변수들이 다음과 같은 조건을 가져야 합니다.  

변수는 delta, gamma, K이므로 적절하게 값을 조건에 맞게 넣는다면 무조건 시스템의 Pole은 좌평면에 위치하여 stable한 상태를 유지할 수 있습니다. 

여기서 더 나아가서, 상승시간, Overshoot, settling time 등 Control Performance 분석까지 하여 분석까지 이뤄짐으로써 더 좋은 결과를 도출할 수 있습니다. 

 

2) Tracking

추적은 타겟을 따라가는 의미를 지니고 있습니다. 이때 어떤 참조가 되는 input을 따라가도록 하는 제어를 Tracking이라고 합니다. 

때문에 input을 따라가는 것은 input의 값을 그대로 출력으로 낼 수 있어야 하기에 Open-loop 시스템에서는 플랜트 (G(s))의 역수 값 (1/G(s))을 Controller에서 곱해서 상쇄시켜줍니다. 이를 통해 Y(출력)=R(입력)에 근접하게 되지만 Controller의 전달 함수의 분자식이 분모보다 더 높은 차수가 될 수 있으며 이때는 non-proper system이 되며 또한 상쇄되도록 설계를 하는 것은 왼쪽 평면에 위치하는 극의 Sensitivity가 악화될 수가 있습니다. 

 

3) Regulation

Regulation은 조절이라는 의미를 가지고 있습니다. Tracking과는 다르게 보통 Reference를 0으로 생각하며 disturbance에 대한 output을 생각하는 개념이며 지속적으로 error를 작게 만들어주는 것을 Regulation이라고 합니다.  

Regulation은 Disturbance와 밀접한 관련이 있는 개념이기에 위에 써져있던 식 (Closed-loop 시스템에서의 출력 및 오차식) 에서 다음과 같이 W(s)의 영향력을 줄이는 개념이 Regulation입니다. 

 

Disturbance의 영향을 줄이는 것은 다시 한번, W(s)에 곱해진 계수의 영향력을 작게하는 것입니다. 때문에 분모를 크게 해 줄 수 있는 D_cl (Controller Gain)을 크게 해 줌으로써 W(s)가 곱해진 항을 작게 할 수 있습니다. 

보통 Disturbance는 저주파수 영역에 존재하며, Noise는 고주파수 영역에서 존재합니다. 이런 점을 착안하여 저주파수 영역에서 Disturbance의 영향력을 작게하는 설계를 해줄 수도 있으며 (Robustness to Disturbance), 고주파수 영역에서는 Disturbance의 영향력이 원래 작으므로 Noise의 영향력만 작게 해 주는 제어 설계를 해주면 됩니다. 

 

4) Sensitivity

플랜트 G(s)는 시간이 지남에 따라서 값이 변화될수 있습니다. 민감도의 정의는 변화된 플랜트 (시스템 파라미터 변동)에 따라서 시스템 전달 함수 변동에 영향을 주는 정도입니다. 

Case Study (Open-Loop System)

Open-Loop

Open-loop 시스템에서 G(s)는 시간이 지남에 따라서 미세한 변화가 될수있습니다. 

이때 T (전달함수)는 Controller와 Plant와의 곱이며 마찬가지로 T 또한 G의 미세한 변화에 대해서 영향을 받게 됩니다. 

 

민감도는 S라고 정의하며 플랜트의 변화율에 대한 전달함수의 변화율을 의미합니다. 

즉 플랜트가 15% 변화하였을때 T는 얼마나 변화하는가에 대한 것을 체크하는 항목이며 Open-loop 시스템에서는 항상 민감성의 값은 1입니다. 민감성이 1이라는 의미는 플랜트 변화율이 15%이면 곧 전달 함수의 변화율도 곧 15%라는 의미입니다.

 

Case Study (Closed-Loop System)

Closed-loop 시스템에서는 전달함수의 변화율은 다음과 같이 표현됩니다. 

하지만 T_cl의 변화율을 알기 위해서는 분모를 동일하게 만들어줘서 계산해야 하는 Load가 발생하는데 좀 더 간단하게 하기 위해서 미분을 사용합니다. T를 G에 대해 편미분을 수행함으로써 T/G의 미분 값을 얻을 수 있으며..

 

위에서 민감도의 식은 전달 함수 변화율에 대한 플랜트의 변화율이었으므로 방금 구한 T/G의 미분 값을 이용하여 Closed-loop 시스템에서의 민감도를 얻을 수 있습니다. 

Open-loop 시스템에서는 민감도를 개선할 수 없었지만 Closed-loop에서는 민감도를 줄이는 설계를 함으로써 우리는 전달 함수의 변화율을 줄일 수 있어서 초기 모델링했던 제어 시스템을 그대로 유지하도록 할 수 있습니다. 

 

* Complementary Sensitivity function 

Closed-loop system에서 정의된 S는 1에서 S를 뺄셈 하였을 때 전달 함수 T가 됩니다. 즉 T를 Closed-loop 시스템의 전달 함수라고 부르기도 하면서 동시에 complementary sensitivity function이라고도 합니다.