제어공학 - 제어 (Control)와 관련한 기타 지식

해석 함수 (Analytic Function) 

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function

정의: 어떤 함수와 그 함수의 모든 도함수가 s평면의 어떤 영역에서 존재할 시, 그 함수는 그 영역에서 해석 함수이며 해석적 (Analytic)이라고 한다. 

좀 더 들어가 보면 해석 함수는 무한히 미분이 가능하며 임의의 함수 F의 테일러급수 (Tayler Series) 값이 결국 F에 수렴할 때를 의미합니다. 만약 그렇지 않다면 `비 해석적` 함수라고 부릅니다. 우리가 무엇인가의 현상의 변화를 예측하거나 해석을 위해서는 현상을 설명하는 함수가 반드시 미분가능하며 연속적이어야만 가능합니다. 때문에 제어의 영역에서도 최적제어를 위해서는 반드시 smooth 하다는 Analysis가 되어야 하며 이때 analytic 했는지 아닌지를 판별합니다. 

 

전달 함수 (Transfer function)에 대한 부가적인 설명 

• 전달함수는 선형 시불변 시스템에만 적용되며, 모든 초기 조건 0이라는 가정하에서 얻어질 수 있다.
• 전달 함수는 수학적 모델의 일종이다. 입력변수와 출력변수 사이의 미분방정식으로 다른 연산 형태로 표시한 것이다. 
• 전달함수는 그 자체의 특성이기 때문에 입력의 성질이나 크기에는 무관하다. 
• 전달함수는 시스템의 물리적 구조에 관한 정보를 담고 있지는 않다. 그러나 물리 시스템이 달라도 전달 함수가 같을수 있다. 
• 전달함수가 주어질 때 여러 가지 입력에 대한 출력 (응답)을 연구하여 시스템의 성질을 이해할 수 있다. 
• 전달 함수를 모를 경우, 실험적으로 주어진 입력에 대한 출력을 구함으로서 전달함수를 구할 수 있다. 

적절한 전달 함수란?

• strictly proper: 전달 함수의 분모 다항식의 차수가 분자의 차수보다 클 때
• proper: 분모의 최고 차수가 분자의 차수보다 크거나 같을 때
• improper: 분모의 최고 차수가 분자의 차수보다 작을 경우

특성 방정식 (characteristic equation): 전달 함수의 분모 다항식을 0으로 높아 얻어지는 방정식을 의미함

 

안정도 (Stability)에 대한 추가적인 정보

• 절대 안정도 (Absolute stability): 시스템이 안정한가 불안정한가에 대한 판단의 조건만을 제시
• 상대 안정도 (Relative stability): 시스템이 어느 정도 안정한 지에 대해서 상대적으로 판단함 (즉 누가 더 허수 축에서 더 멀리 pole이 위치해 있는지 상대적으로 판단하는 것)

시스템의 응답을 이용한 안정도 평가 방법

시스템의 응답은 2가지의 합으로 구성됩니다. 

시스템의 응답 = 영상태 응답 (Zero-state response) + 영입력 응답 (Zero-input response) 

`영상태 응답`은 시스템의 모든 초기 조건이 0일 때 입력만에 의한 응답 (Particular solution)이며 `영입력 응답`은 초기 조건만에 의한 응답으로 이때는 모든 입력이 0인 상태입니다 (Homogeneous solution). 

이때 BIBO (유한한 입력에 대한 유한한 출력)를 만족한다면 시스템은 안정하다고 말할 수 있으며 아닐 때는 시스템이 불안정하다고 판단합니다. 즉 제한된 입력을 넣었을때 응답이 발산하지 않고 제한된 출력을 보여줄때 안정하다라고 판단할 수 있습니다. 다만 BIBO의 안정성을 위해서는 특성 방정식의 근 (전달 함수의 극)이 s평면의 우반면이나 jw 축 위에 놓이지 않아야 합니다. 

 

영 입력의 안정도와 점근적 안정도

• 영 입력 안정도 (Zero-input stability): 입력이 0이고 시스템이 오직 초기 조건만으로 구동될 때의 안정도
• 점근적 안정도 (Asymptotic stability): 시간이 무한대로 접근 시 y(t)의 크기가 영에 접근할 때의 안정도 

s 값이 다음과 같이 값을 가진다고 생각해봅시다. 

• 만약 모든 σ 값이 (i=1,2,3...) 음수일 때는 (모두 왼쪽 평면에 있을 때) 시스템은 Asymptotic stable 또는 stable이라고 판단합니다. 
• 만약 모든 σ 값이 0일 때 (i=1,2,3...) 시스템은 marginally stable 또는 marginally unstable이라고 판단하며 안정한 지 불안정했는지 모르는 상태입니다. 
• 만약 모든 σ 값이 음수일 때 (i=1,2,3...) 모두 오른쪽 평면에 있으므로 시스템은 unstable 합니다.