제어공학 - Effects of Zeros and additional Poles (영점과 추가적인 극점의 영향) 2

Zero를 추가하였을 때는 상승 시간이 짧아지고, Overshoot가 커지며, Settling time에는 큰 영향이 없는 것을 관찰할 수 있었습니다.

 

이번에는 Zero만 추가한 상황에서 어떻게 시스템의 성능 개선을 할 것인지에 대해 이번에는 극점 (Pole)이 추가가 어떠한 영향을 주는지에 대해서 알아보겠습니다.

Effects of additional Poles at the response

 

먼저 일반적인 2차 시스템 식에 분모에 항이 더 붙은 H(s)를 다뤄보겠습니다. 

 

 

해당 전달 함수는 아래와 같은 극값을 하나 더 가지고 있으며 아래와 같습니다. 

 

이때 α 값에 따라서 시스템의 응답 경향은 아래 그림과 같으며 α 값이 커지면 커질수록 상승 시간이 커지게 됩니다. 하지만 α = 1에 근접하면 할수록 점점 더 Overshoot가 작아지게 되면서 상승 시간도 작아집니다. 

[1] Step response for several third–order systems (extra pole) when  ζ=0.5

Zero가 추가되어서 α가 1에 가까워질 때는 Overshoot가 커지고 상승 시간이 짧아졌습니다. 하지만 반대로 극점이 추가되었을때는 α가 1에 가까워질수록 Overshoot가 작아지고 상승시간이 길어졌습니다. 즉 극점과 영점의 추가 영향은 각각 반대의 영향을 주기 때문에 각각의 영향력을 잘 이용한다면 최종적인 목표인 Overshoot는 작게 하면서 상승 시간은 짧게 하도록 할 수 있습니다. 

 

 

 

Effect of Pole-Zero Patterns on Dynamic Response

 

최종적인 정리를 해보겠습니다. 

 

위의 값들은 시스템을 평가하는 기준들이었습니다. 그리고 만약 시스템의 설계 요구사항이 주어지고 해당 평가 기준들을 만족하기 위해서 고려를 해야 한다면 우리는 Pole과 Zero를 추가함으로써 시스템의 성능을 바꿀 수 있습니다.

 

이때 Pole은 시스템을 느리게 하고 overshoot를 낮게 하는 경향이 있으며 Zero는 시스템을 빠르고 Overshoot를 크게 하는 경향이 있습니다. 때문에 이 둘의 장점들을 살려서 위의 기준들을 만족시켜야 합니다. 

 

• 추가 영점이 복소수 극점의 실수 부분의 4배 보다 안에 있으면서 영점은 LHP (Left Half Plane)에 위치할 때는 Overshoot가 커지게 만듦
• 추가 영점이 RHP에 위치할 때는 Overshoot를 감소시킴 (하지만 Undershoot를 발생시킬 수 있음)
• 추가된 극점이 복소수 극점의 실수 부분의 4배 보다 안에 있을 때는 극점은 LHP에 위치할 때는 상승 시간을 크게 만듦

 

Reference

[1] von Ellenrieder, Karl Dietrich. "Time Response and Basic Feedback Control." Control of Marine Vehicles. Springer, Cham, 2021. 79-117.