제어공학 - Effects of Zeros and additional Poles (영점과 추가적인 극점의 영향) 1

제어기를 설계하는데 반드시 영점과 극점의 위치를 조절하면서 설계를 해야 합니다.

시스템의 응답이 너무 느릴 경우, 시스템의 상승 시간 (rise time)을 낮은 값을 가지도록 설정해야 하며 이는 곧 natural frequency값을 높여야 합니다. 

시스템의 transient 상태에서 너무 과도한 overshoot가 발생했을 경우, damping의 값을 높여야합니다. 

만약 transient가 오랫동안 지속되어서 settling time이 너무 오래 걸린다면, 극점을 좀 더 왼쪽으로 옮기도록 전략을 취해야 합니다. 

만약 이와 같은 전략으로 해결이 되지 않았을 경우 우리는 새로운 영점 또는 추가적인 극점을 시스템에 추가합니다. 이러한 방법을 compensator design이라고 하며 이번 글에서는 추가된 영점이 어떠한 영향을 미치는지에 대해서 적어보겠습니다.

 

Case Study 1

H1은 시간 영역에서는 h1으로 표현됩니다. h1에서 두 번째 항은 빠르게 감소하지만 첫 번째 -t 승의 exponential항은 천천히 떨어집니다. 때문에 H2에서 zero를 하나 추가 (분자에 s+1.1 추가)하고 DC Gain에 대해서 변화가 없도록 분모에는 1.1을 곱하여서 나눠줍니다. 결과적으로 느리게 감소하는 첫번째 exponential항의 계수 값이 0.18로 바뀌게 되어서 아래의 그래프처럼 좀 더 빠르게 0으로 수렴하는 것을 볼 수 있었습니다.  

*결론적으로 s+1 극값의 영향을 줄이는 결과를 불러올 수 있으며 H2 식에서 볼 수 있듯이 s+1.1의 영점 값은 s+1 극값과 나름 가깝게 있습니다. 즉, 극값과 비슷하게 영점 값을 추가해줌으로써 우리가 원하는 항의 영향력을 줄일 수가 있습니다. 

Generalization

좀 더 일반화된 상황에 대해서 생각해보겠습니다. 

우리는 2차 시스템에 대해서 배웠습니다. 왼쪽이 일반 2차 시스템에 대한 전달 함수이며 이때 오른쪽 H2와 같이 H1에 zero 항을 하나 추가해줍니다. 

이때 전달함수 H2의 영점은 다음과 같습니다. 

α는 상수이며 만약 큰 값을 가질 때는 극점과 멀어지기 때문에 영점의 영향력이 없어지게 됩니다. 즉 신호에 대해 미미한 영향을 주게 됩니다. 

α가 1에 근접한 값을 가질 때는 극값 (복소수)의 실수부분 (Real part)에 상당히 가까운 값을 가지게 되며 상당한 영향력을 줄수 있습니다. 

ξ는 Damping ratio였습니다. ξ가 고정된 상태에서 위에서 언급한 α값이 다른 값들을 가질때 어떠한 시스템 신호 변화가 있는지 아래와 같습니다. 

[1] Step response of a second–order system with an extra zero (ζ=0.5)

그림은 ξ = 0.5일 때 다른 α값일때의 y(t)를 보여준 것이며 현상에 대해서 정리하면 다음과 같습니다. 

- α가 1에 가까워지면 질수록 (작을수록) t_r (상승 시간)이 짧아진다 (시스템의 반응이 좀 더 빠르게 됨)

- α가 1에 가까워지면 질수록 (작을수록) M_p (Overshoot)가 커진다. 

- 그러나 α가 1에 가까워지면 질수록 t_s (Settling time)에 대해서 큰 변화는 없다. 

Differential Term

전달 함수 H(s)에서 ω_n 값이 1일 때를 가정해봅시다. 이때 H(s)는 2가지 항으로 부분 함수 분리가 되며 첫 번째 항은 zero가 없는 항과 미분을 H_0에 미분을 한 값이 나오게 됩니다. 

시간 영역에서 표현을 하게 되면 아래와 같으며 Zero가 없는 항과 Zero가 없는 항에 대해서 미분을 한 응답에 스칼라 값이 곱해진 형태로 나오게 됩니다. 

미분항을 더하게 되면 어떠한 영향을 주게 될까요?

비록 overshoot가 커져버려도 원래 응답은 느린 (상승 시간이 긴 응답) 상태이지만 미분 항을 합하여 더 빠른 (상승시간이 짧은 응답) 응답을 만들어 줄 수 있습니다 (아래 그림의 왼쪽). 

그러나 α가 음수일 때도 존재할 때가 있으며 이때는 (영점이 RHP에 위치할 때, s > 0) RHP zero라고 부르며 이때는 undershoot가 발생합니다. 이러한 상태를  nonminimum phase system 또는 initial undershoot 이라고도 부릅니다 (아래 그림의 오른쪽)  

[1] Second–order step response and its derivative (α=2 and ζ=0.5)	[1] Second–order step response and its derivative with a right–half plane zero (α=−2 and ζ=0.5).

Case Study 2 

2차 시스템이 아래와 같이 주어져 있고 영점이 0인 항이 추가된 H(s)에서 unit-step이 들어올 때 z = 1,2,3,4,5,6인 경우에 대해서 응답을 살펴보겠습니다. 

먼저 unit-step이 들어왔기 때문에 H(s)에 1/s를 곱한 결과를 Y(s)로 표현합니다. 

얻어진 식 Y(s)의 각 항에 대해서 시간 영역에 대해 표현을 해주면 마찬가지로 미분항이 추가된 형식이며 아래와 같이 최종적인 식을 얻을 수 있습니다. 

이제 z값에 따라서 어떠한 경향을 보이는지 그래프로 보겠습니다. 

z = 1일 때는 Overshoot가 커지게 되면서 대신 상승 시간이 매우 짧아지게 되며 z = 2~3까지는 Overshoot가 어느 정도 발생합니다 (마찬가지로 Settling time에 대한 영향은 없습니다)

z = 4 & z = 6일 때는 괄호 항이 제거가 되어서 Overshoot이 사라지게 됩니다. 

z = 5일 때는 영점이 두 개의 pole값 사이에 위치하기 때문에 (보라색 선) Overshoot가 발생하지 않습니다. 우리는 이러한 경우에 대해서 zero가 두 번째 pole값을 compensate 하였다고 표현하며 z = 4, 6 사이의 Performance를 가지면서 Overshoot를 안 가지는 응답을 가질 수가 있습니다. 

*즉 시스템을 설계할 때 극값 사이에 영점 값을 가지게 된다면 좋은 성능을 가질 수가 있게 됩니다. 

Reference

[1] von Ellenrieder, Karl Dietrich. "Time Response and Basic Feedback Control." Control of Marine Vehicles. Springer, Cham, 2021. 79-117.