제어공학 - Stability (안정성)

Stability

제어 시스템에서 일반적으로 `안정하다 (stable)`라는 의미는 전달 함수의 분모의 다항식 근의 실수 부분이 모두 음수 영역에 있을 때 (또는 Left Half Plane, LHP)입니다. 반대의 경우인 실수 부분이 RHP에 있을 때는 `불안정하다 (unstable)`라고 판단합니다.

Pole

• σ > 0, s의 실수부분이 LHP에 위치하므로 Stable (수렴)
• σ < 0, s의 실수부분이 RHP에 위치하므로 Unstable (발산)
• σ = 0, s의 실수부분이 0을 가지며 허수 축에 위치함 (중근을 가질 경우) -> Unstable (발산)
• σ = 0, s의 실수부분이 0을 가지며 허수 축에 위치함 (중근이 아닐 경우) -> Neutrally stable (or unstable), 진동함

각각의 케이스에 대해서 시스템의 response는 아래 그림과 같습니다.

[1] Impulse response vs Pole location

  

Bounded Input-Bounded Output (BIBO) Stability

이번에는 입력값의 범위가 제한되어있을때 출력 값도 제한된 값으로 나오는 경우에 대해서 생각해보겠습니다. 이러한 시스템의 경우를 BIBO라고 하며 입력이 유한하면 출력이 유한한 시스템을 의미합니다. 

시간영역에서 시스템에 입력을 넣어주면 시스템과 입력 사이의 convolution 된 결과가 나오게 됩니다. 

이때 입력값 u(t)의 범위가 다음과 같이 bounded 되어 있을때 출력 y는 아래와 표현되게 되며,

BIBO 시스템이 안정될 조건은 적분항이 bounded된 구간에서 있을 때입니다. 

 

*Neutral unstable 한 상태는 BIBO에서 바라볼때는 unstable 한 상태입니다. 

 

BIBO system example

전원과 Capacitor가 있는 circuit을 보겠습니다. 

Current Source, u(t)와 Capacitor C가 있으며 양단에 +, - 전압이 걸리는 회로입니다. 이때 Capacitor의 전압의 변화량은 전류의 변화량 (displacement current, u(t))에 비례하는 특징이 있으며 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

시간 영역에서 정의된 시스템 방정식을 라플라스 변환을 해주고 전달함수 H(s)를 구하면 아래와 같습니다. 

전달 함수 H(s)를 시간영역에서 정의를 해주면 간단하게 표현이 됩니다.

이제 stable한지 아닌지에 대해서 위해서 배웠던 식 (적분식)의 조건을 만족하는지 확인을 해보면 시간 t -> ∞ 무한으로 갈때 1을 무한으로 더한 것과 같으므로 결국 무한에 도달하게 되어 Stable하지 않게 됩니다. 

해당 회로의 전달함수 식에서 Pole은 0 값이기에 Imaginary axis에 위치하며 진동 또는 발산을 하는데 이때 BIBO 조건이 만족하지 못하기 때문에 unstable 하다 (BIBO-stable이 아니다)라고 판단할 수 있습니다. 

 

 

Routh Stability Criterion 

위에까지 나왔던 내용들은 모두 전달함수를 얻고 직접적으로 시스템의 안정성에 영향을 주는 분모 다항식에 대해서 인수분해를 통해서 pole이 어디에 위치하는지에 따라서 안정성을 판단하는 방법이었습니다.

하지만 분모가 3차, 4차 그 이상이 된다면 상당히 인수분해에 시간이 걸리게 되기 때문에 Edward John Routh와 Hurwitz matrix라는 사람이 다른 방법을 제안하였습니다. 

 

우선 전달함수에는 특성 방정식 (characteristic equation) R(s)가 존재하며 해당 방정식은 전달 함수의 분모를 0으로 만드는 방정식입니다. 

이때 stable하기 위해서 다음과 같은 조건이 있습니다.

 

1) 특성방정식의 모든 계수들이 동일한 부호를 가져야 한다 (필요조건)

즉 R(s)의 첫 번째 계수가 1이므로 다른 계수들 모두 양수를 가져야 합니다. 

하나라도 만약 부호가 다를 때 unstable이 되며 0이 되어서도 안됩니다. 

모두 부호가 같아야 하는 이유는 극점이 좌평면에 위치하기 위함이며 좌평면에 위치함으로써 시간영역으로 바꾸었을 때 함수의 지수가 음수 값을 가져서 시간이 점점 지나감에 따라서 0으로 수렴하기 때문입니다. 

 

2) 계수 계산을 진행하면서 부호가 몇 번 바뀌는지 체크

6차까지 있는 특성 방정식이 있을 때 먼저 아래의 그래프처럼 첫 번째 및 둘째 행에는 지수가 짝수인, 홀수인 항의 계수들을 분리하여 적습니다. 

s^4부터는 2 x 2 determinant를 계산하는 것처럼 지그재그로 하나씩 구해줍니다. 

중요한 점은 제일 좌측에 있는 항들 (Routh 표의 1열)의 부호 변화가 몇 번 있는지를 파악합니다. 

예를 들어서 위의 계수들이 아래와 같이 계산되어 나왔을 때 부호 변화를 살펴보면 4 -> -5, -5 -> 6으로

총 2번 부호가 바뀌었습니다. 2번 바뀌었다는 것은 2개의 극점이 우반면에 위치하기 때문에 시스템이 불안정하다고 판단할 수 있습니다. 반대로 부호 변화가 일어나지 않는다면 시스템이 `안정하다`라고 알 수 있습니다. 

 

 

Routh Stability Criterion Example 1

하나 예제를 살펴봅시다. 다음과 같이 특성 방정식이 있을 때 시스템이 안정한 지 안 한 지를 살펴보겠습니다. 

먼저 Routh table을 제작합니다. 제작을 하면 아래와 같이 됩니다. 

이때 부호 변화가 2번 있었으므로 2개의 pole이 오른쪽 평면에 위치한다 즉, unstable 하다라고 판단할 수 있습니다. 

 

Routh Stability Criterion Example 2

다음은 피드백 시스템입니다. 해당 시스템에서 비례 게인인 K가 주어지고 있으며 이때 K의 범위가 어디까지가 시스템이 stable 될 수 있는지를 알아보는 문제입니다. 

먼저 전달 함수에 대해서 알아보겠습니다. 

이때 특성 방정식은 전달 함수 T(s)의 분모이므로 분모인 R(s)를 0으로 만들어주는 방정식을 의미합니다.

이제 R(s)를 가지고 Routh table을 작성합니다. 

시스템이 안정되기 위해서는 부호 변화가 없어야 하며 s 1승과 s 0승의 항목이 아래와 같이 모두 양수인 범위를 만족해야 하므로

공통이 되는 K의 영역은 K는 7.5 초과인 영역이 되어야만 시스템이 stable 할 수 있습니다. 

 

Reference

[1] https://tex.stackexchange.com/questions/512942/tikz-impulse-response-vs-pole-location