제어공학 - Effect of Pole Location (극점 위치에 따른 영향) 2

Second order system

이전 글에 이어서 이번에는 Pole이 Complex (복소수) 영역에 위치하는 시스템에 대해서 다뤄보겠습니다. 

우선 많은 이차식은 이쁘게 정수 해를 가지는 꼴의 인수분해가 되지 않습니다. 아래의 식은 전형적인 이차 시스템으로서 자동제어에서 중요하게 다뤄지고 있습니다. 

전달 함수 H(s)의 분모식 (이차식)에 대해 성분을 분석하면 아래와 같습니다.

Explanation

시스템의 극점은 s와 같습니다. s는 2가지 항이 더해져서 구성됩니다. Neper frequency와 damped natural frequency가 합쳐서 구성됩니다. 극점은 아래와 같이 Wn길이의 반지름을 가지는 원의 외곽선에 위치합니다. 

이때 pole과 y축 (Imaginary axis)과의 각도는 sin^-1(ξ) 이며, sin값은 Wn/σ 이므로 자연스럽게 유도가 됩니다. 이때 θ의 값에 따라서 ξ은 자연스럽게 정해지게 되며 damping ratio가 크면 클수록 각도가 커지게 되며 결국은 x축 (Real axis)에 s의 위치가 가까워지게 됩니다. 

• θ = 45도 일 때 ξ 값: 0.707
• θ = 30도 일 때 ξ 값: 0.5
• θ = 17.5도 일 때ξ 값: 0.3 

 

damping ratio (제동 비 또는 감쇠비) 값은 시스템이 발산하는가 아닌가를 결정하는 중요한 인수입니다. Damping은 감쇠라는 의미를 지니며 물체의 운동을 저지하는 역할을 합니다. 물체는 진동에 의해서 파손이나 손상이 발생하기 때문에 진동을 제거해주기 위해 감쇠기와 같은 장치를 추가로 달게 됩니다 (ex. 완충기). 2차 시스템에서는 damping ratio와 natural frequency가 직접적으로 시스템의 응답 특성에 영향을 미치기 때문에 damping ratio의 값 영역 (또는 각도의 영역)에 따라서 다음의 의미를 지닙니다. 

• ξ < 0 : 시스템이 발산하게 됨
• 0 < ξ < 1 : 복소 극을 가짐, 미흡 감쇠 (Underdamped) 
• ξ  = 1: 임계 감쇠 (Critically damped)
• 1 < ξ : 인수 분해되며, 실수 극점을 가짐, 과도 감쇠 (Overdamped)

 

Wn은 비 감쇠 고유 진동수를 의미합니다. 말 그대로 감쇠 성분이 없는 고유 진동수를 의미하며 그냥 고유 진동수라고도 표현합니다. 해당 값은 시스템에서 바뀌지 않는 값이며 우리 주변에 있는 대부분의 시스템이 2차 시스템일 때 비감쇠 고유 진동수 식은 아래와 같습니다. 

그리고 여기서 감쇠 요소인  ξ가 존재하다면 감쇠 고유 진동수인 Wd로 표현됩니다. 고유 진동수는 위의 식과 같이 시스템의 질량과 강성에 의해서 결정되며 감쇠가 있을 때는 고유 진동수는 감쇠에 의해서 더 낮아지게 됩니다 (즉 Wd는 바뀔 수 있는 값이며 Wn는 고정된 값입니다). 이때 damping ratio가 커지게 되면 Wd는 작아지게 되어서 진동수가 낮은 값을 가지게 되며 시스템이 느리게 됩니다. 

 

Impulse response

시스템의 impulse 입력에 대해 어떻게 응답하는지 알기 위해서 주파수 영역의 H(s)를 라플라스 역변환을 이용하여 시간 영역의 식으로 바꿔줍니다. 

결과로 나온 h(t)는 sin 함수와 exponential 함수가 합쳐진 형태로 구성됩니다. sin은 지속적인 진동이지만 exponential 함수의 영향에 의해서 결국 감소가 됩니다. 이때 Neper frequency는 얼마나 빠르게 decay 할 것인지를 결정하는 요소입니다. 

 

*이때 exponential함수를 envelope function이라고 부릅니다. envelope뜻은 봉투와 같이 포함한다라는 의미를 지녔습니다. 아래 그림과 같이 exponential function (envelope function)에 의해서 그려지는 내부 영역 안에는 실제 h(t)가 움직이는 trajectory가 포함되어 있기 때문에 envelope라고 부릅니다. 

envelope function

Stability

위에서 Impulse response가 Neper frequency에 따라서 달라지는 것을 보았습니다. 마찬가지로 시스템의 안정도를 Neper frequency의 값 영역에 따라서 판단할 수 있습니다. 

1) if σ (Neper frequency) < 0

해당 경우에는 극점이 s-plane에서 원점 중심으로 오른쪽에 위치하며 (RHP), 이때 자연 응답 (natural response)은 시간에 따라서 증가하게 되며 unstable 해집니다. 

2) if σ (Neper frequency) = 0

자연 응답이 감소하지도 않으며 또는 상승하지도 않는 상태이며 이때는 안정도를 정의할 수 없습니다. 

3) if σ (Neper frequency) > 0

극점이 s-plane의 왼쪽에 위치하며 (LHP), 자연 응답이 감소하게 되며 이때는 시스템이 안정된 상태를 유지합니다.

 

Example (MATLAB)

H(s)라는 전달 함수가 주어졌을 때 각각 어떤 성분에 얼마의 값을 가지고 응답은 어떠한지를 살펴보겠습니다. 우선 H(s)를 시간영역의 함수로 바꿔주기 위해서 부분 함수 꼴로 바꿔주고 역 라플라스 변환을 수행하면 아래와 같이 최종 식을 만들 수 있습니다. 

이때 각 성분을 먼저 분석해보겠습니다. 

H(s)의 분모에서 마지막 5는 Wn의 제곱이었습니다. 때문에 Wn=√5 값을 가지게 됩니다. 이런 식으로 하나씩 분석을 해보면 아래와 같습니다.

부분 함수는 모두 동일한 exponential 함수를 가지기에 때문에 h(t)는 하나의 함수로 표현할 수 있었습니다. 

다음은 Impulse 입력에 대해서 response를 띄운 결과입니다. Neper frequency는 1을 가지므로 system의 응답은 지속적으로 감소하게 되고 안정된 상태를 유지하게 됩니다. ξ는 0.447이므로 Underdamped 현상을 보입니다. 또한 시스템의 극점은 음수 영역에 존재하므로 (2번째 그림) 시스템이 안정하다고도 판단할 수 있습니다.   

 

 

*Code 

clc; close all; clear all;
t = 0:0.1:6; 
q1 = sqrt(17)/2*exp(-t).*cos(2*t+atan(1/4));
env = sqrt(17)/2*exp(-t);

H = tf([0 2 1],[1 2 5]);
pzmap(H,'red')
xlim([-1.2 0.1])
ylim([-2.5 2.5])
grid on

figure()
plot(t,q1,'k')
hold on
plot (t,env,'-.r')
plot (t,-env,'-.r')
grid on
xlabel('time (s)')
ylabel('h(t)')

lgnd = legend('h(t)','envelope function $f = \frac{\sqrt{17}}{2} e^{-t}$', 'envelope function $f = -\frac{\sqrt{17}}{2} e^{-t}$') 
 set(lgnd,'interpreter','latex');