제어공학 - System Modeling Diagram (시스템 모델링 다이어그램)

Definition

시스템 모델링 다이어그램은 아래와 같이 시스템의 각 component를 라플라스로 변환하여 간단하게 블록선도로 그린 그림을 의미합니다. 기존의 시간 영역에서 convolution계산이 라플라스 변환에 의해서 변환되면 각 블록을 거치면서 단순한 곱셈 형식으로 표현이 됩니다. 

시스템을 블록선도로 표현함으로써 다음과 같은 장점을 가질 수 있습니다.

• 시스템 구성 요소들의 결합형태에 대한 이해를 쉽게 파악할 수 있습니다. 
• 전달 함수와 함께 사용되면, 시스템 부분 및 전체의 입출력 관계를 표현 및 파악이 가능합니다. 

 

 

아래 예제를 보겠습니다. 간단한 시스템으로서 입력 U1이 G1와 G2를 통과하여 결과 Y2가 나오는 시스템입니다. Y2는 U1에 G1과 G2가 곱해진 형태이므로 결국 TF (전달 함수)는 G1 x G2로 표현될 수 있습니다. 

직렬 결합 (Serial)

 

다음 예제를 보겠습니다. 다음 예제는 G1과 G2가 더해지는 값이 전달함수인 경우로 중첩 (Superposition)의 원리를 보여주는 시스템입니다.  

병렬 결합 (Parallel)

 

다음은 피드백 루프 시스템 (single loop negative feedback)입니다. 출력 Y가 다시 입력 쪽에 마이너스 영향을 주는 시스템입니다. 전달 함수 계산은 아래의 식들과 같습니다. 

귀환 결합 (Return)

전달 함수 계산을 위해서 우선 각 구간마다 임의로 이름을 붙여주었으며 (ex. Y_2, U_2, Y_1, U_1) 해당 값들이 어떠한 관계식을 가지는지 정의를 먼저 해줍니다. 관계식을 결국에는 G1, G2, Y, R의 식으로만 구성되게 (즉,  Y_2, U_2, Y_1, U_1을 식에서 제거해야 함)  만들어주면 최종적으로 전달 함수를 구할 수가 있습니다. 

여기서 좀 더 알 수 있는 점은 아래와 같습니다. 분자에 위치한 G_1 값은 루프를 거치지 않은 Feed forward 게인 값이며 분모 값은 루프를 한바뀌 돌았을 때 얻어지는 Gain값 (G1 x G2)에 1을 더한 값으로 표현이 됩니다. 때문에 많은 수의 루프가 나와도 아래와 같은 해석 방법으로 접근하면 많은 루프가 존재하는 시스템에서도 쉽게 전달 함수를 계산할 수가 있습니다. 

 

 

 

Conversions

블록선도에서 특정한 구간을 아래 3개의 예제와 같이 표현이 다르게 나타낼 수도 있습니다. 중요한 건 결과는 변하지 않아야 하며, Conversion을 통해서 시스템을 좀 더 해석을 쉽게 할 수 있는 장점이 있습니다. 

블록선도에는 아래 빨간 점선 표기와 같이 분기점 (Pickoff 또는 Takeoff point) 또는 합산점 (Summing junction, 시그마)이 존재합니다. 해당 기점을 기준으로 시스템을 각 그림의 오른쪽과 같은 표현으로 변경이 가능합니다. 

1)

 

2)

 

3)

 

*3)의 경우 피드백에 곱해지는 게인이 아무것도 없습니다. 이러한 시스템을 unity feedback system이라고 부르며 gain이 1인 피드백을 의미합니다. 

 

Example

예제를 하나 살펴보겠습니다. 아래와 같이 시스템 블록선도가 주어졌을 때 전달 함수 Y/R을 구하는 문제입니다. 

문제에 대한 해답을 구하기 위해서 우선 주어진 시스템을 좀 더 간결하게 바꿔줘야 합니다. 핵심은 작은 루프를 루프가 없는 feedforward 형태로 바꿔주는 것으로 시작되며 결과는 아래와 같습니다 (바꿔주는 방법은 작은 루프만 떼어내어서 single feedback system으로 생각하여 아래와 같이 구할 수 있습니다)

바뀐 루프 시스템에서 전달 함수를 구하기 위해 위에서 적었던 식을 다시 생각하여 식을 세울 수 있습니다. 싱글 루프일 때 분자는 Feed forward 결과이며, 분모는 루프를 한 바퀴 거친 결과에 1을 더한 값입니다. 

결과적으로 아래와 같이 나오며 전개를 하면 T(s)를 구할 수 있었습니다.