제어공학 - Effect of Pole Location (극점 위치에 따른 영향) 1

Effect of Pole Location (consider only real value)

극점의 위치는 시스템의 안정도를 판단하기 위해서 첫 번째 단서입니다. 자연 응답 (natural response)과 관련이 있으며 상승 시간, 정착 시간, 과도 진동과 같은 시간 응답 특성에 직접적인 영향을 미칩니다. 

impulse response (r.t pole location)

위 그림은 Phase Plane에서 다음과 같이 pole 위치 (x 표시)에 따른 impulse 신호에 대한 시스템의 시간 영역에서의 응답을 나타내는 그림입니다. Pole이 음의 영역에 속할 때는 시스템이 시간이 지나면서 0으로 수렴합니다. 그러나 양의 영역으로 갈수록 정체되다가 발산하게 되어서 Unstable 하게 됩니다. 

제일 간단한 예시부터 시작해보겠습니다. 우선은 pole이 실수영역에 해당하는 것에 대해서만 다루겠습니다. 

라플라스 변환을 하여 전달함수가 H(s)인 시스템이 있습니다. 해당 시스템은 다시 역 라플라스 변환을 하였을 때 exponential 함수로 나오게 되며 sigma value (극점, pole)가 양수인지 음수인지에 의해서 시스템이 발산하는지 수렴하는지 알 수 있습니다. 

• σ > 0일때 pole은 s < 0에 위치하며, exponential decay 됩니다. 이때 impluse response에 대해서 해당 시스템이 `stable`하다고 말할 수 있습니다. 
• σ < 0일때, pole은 s > 0에 위치하며, exponential grow가 됩니다. 발산을 하기 때문에 impulse response에 대해 시스템이 `unstable`하다고 말할 수 있습니다. 

 

Time constant 

시상수 (시정수) τ는 입력이 0일때, 즉 고유 응답이 1/e로 감소하는 데 걸리는 시간을 의미하며 대략 36.8%로 떨어지는 시간을 의미합니다. 시스템의 응답이 시작되는 시점에서 응답을 시간 =0에서 미분을 하여서 생긴 직선이 x축에 만나는 시점이 시상수값입니다. 이때 t (시간)이 시상수와 동일할 때 63% 감소한 지점을 의미하며 (빨간 동그라미), t (시간)이 2 x 시상수와 동일할 때는 86% 감소, 3 x 시상 수일 때 95%, 4 x 시상 수일 때 98%가 됩니다

시상수는 pole 값의 역수에 비례합니다. 즉, pole값이 실수축에서 위치할 때 0, 0에서 먼 값을 가질수록 pole의 절댓값이 커지기 때문에 시상수가 작아지게 됩니다. 즉, 시상수가 작다는 것은 빠르게 시스템이 반응한다는 것이며, 빠르게 decay 또는 growth를 하게 됩니다. 반대의 경우도 마찬가지로 시상수가 작을 때는 느리게 시스템이 반응하게 될 것입니다. 

예를 하나 보겠습니다.  

H(s)라는 시스템의 전달함수가 있을 때 인수분해를 하면 오른쪽 식으로 나오게 되며 극점과 영점은 다음과 같습니다.  

• 극점: s = -1, s = -2이며 이때 H(s) = 무한
• 영점: s = -0.5 또는 s = 무한일때 H(s) = 0

impulse 신호에 대한 response를 알아보기 위해서 partial fraction expression으로 된 식을 라플라스 역변환을 수행하면 다음과 같습니다. 

두 개의 항의 합으로 구성이 되며 각각의 그래프와 h(t)를 그래프에 plot 해본 결과 아래와 같습니다. pole 값이 큰 쪽 (s=-2)이 훨씬 더 빠르게 36.8%에 해당하는 위치 (파란색 동그라미)로 도달한 것을 볼 수 있습니다.