1. 상태 천이 행렬 (State Transition Matrix)
상태천이행렬이란 시간의 변화에 따라서 상태의 변화를 야기시키는 행렬을 의미합니다. 좀 더 구체적으로는 시스템에 임의의 입력이 가해지지 않았을 때 시간 t=0에서 어떻게 시간 함수가 나타나는지를 보여주는 행렬이 상태 천이 행렬입니다.
상태 천이 행렬 일반식은 아래의 식과 같습니다.
$$ \phi(t) = \mathcal{L}^{-1} [(sI-A)^{-1}] $$
일반식이 나오는 과정을 한번 살펴보겠습니다. 우선 우리가 알고 있는 일반적인 상태 방정식에서 출발합니다.
$$ \dot{x} = Ax(t) + Bu(t) $$
하지만 이때 상태 천이 행렬은 입력이 0일 때의 행렬이므로 u(t) = 0입니다. 때문에 아래와 같이 단순한 미분방정식에서 시작합니다.
$$ \dot{x} = Ax(t) $$
위 식을 라플라스 변환을 취하게 되면 아래와 같은 식으로 변하게 되며,
$$sX(s) - x(0) = AX(0)$$
X(s)에 대해 정리를 좌항 쪽에 하게 되면,
$$(sI-A)X(s) = x(0) $$
이 되며, 이때 양변에 (sI-A)에 대해 역함수를 취하게 되면,
$$X(s) = (sI-A)^{-1}x(0)$$
이 됩니다. 그리고 마지막으로 역 라플라스 변환을 취하게 되면,
$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0) $$
다음과 같이 되며 우항에서 x(0)를 제외한 항이 바로 상태천이행렬이 됩니다.
즉 x(0)는 상태 변수의 초기값이며 이미 계산할 때 u(t)라는 시스템 입력은 0이기에 시간 함수가 어떻게 변하는지를 파악할 수 있는 행렬이 바로 상 태천이 행렬입니다.
2. 고전적인 방법을 통한 상태천이행렬 구하기
우리는 공업수학을 풀면서 1차 미분방정식의 해를 지수 형태로 가정하여 풀기도 하였습니다.
$$ \dot{x} = Ax(t) $$
때문에 위의 식의 해는 우리가 아래와 같이 가정할 수 있습니다.
$$ x(t) = e^{At}x(0) $$
해당 식을 이용해 보면 적절한 해인 것을 확인할 수가 있으며 우리는 상태천이행렬이 아래와 같이 지수 형태로도 쓸 수가 있습니다.
$$\phi(t) = e^{At}$$
*추가적으로 상태천이행렬을 멱급수 형태로도 표현 가능합니다.
3. 상태천이행렬의 특징
$$ (1). \phi(0) = I (the \ identity \ matrix) $$ $$ (2). \phi^{-1}(t) = \phi(-t) $$ $$ (3). \phi(t_{2}-t_{1})\phi(t_{1}-t_{0})=\phi(t_{2}-t_{0}) \ for \ any \ t_{0},t_{1},t_{2}$$ $$ (4). [\phi(t)]^{k}=\phi(kt) \ for \ k=positive \ integer$$
4가지의 특징이 존재하며 지수함수의 성질을 생각하면 쉽게 특징들을 이해하실 수가 있습니다.
4. 상태천이행렬 예제
상태 방정식이 다음과 같을 때 먼저 sI-A를 구해봅시다.
그리고 역함수를 구하게 되면,
이며, 다음은 라플라스 변환을 위해서 부분 분수 전개를 수행합니다.
최종적으로 역 라플라스 변환을 취해주면 상태천이행렬을 구할 수가 있었습니다.
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