Isomorphism (동형사상)이란

동형 사상의 정의에 들어가기 앞서서 사상이란 개념부터 살펴봅시다. 

수학에서 사상 (morphism)은 수학적 구조를 보존하는 함수의 개념을 추상화한 것입니다. 

문장을 적으니 이해하기 어려운듯하면서도 함수와 뜻이 비슷한듯합니다. 그렇다면 먼저 함수와 사상의 차이는 무엇인지 알아보겠습니다. 

Function (함수) vs Morphism (사상) 

함수는 두 집합 X, Y가 있을 때 X의 각 원소 x에 대해 Y의 유일한 원소 f(x)를 대응시키는 규칙을 함수라고 부릅니다. 

함수

그러나 선형대수학, 복소해석학, 미적분학 등 고등학교에서의 수준에서 넘어가서 다변수의 함수로 넘어가게 되면 일반적인 방법으로 함수를 나타내고 정의하는 것이 까다롭게 됩니다. 때문에 사상은 함수보다 좀 더 general 한 표현이며 더 확장된 개념입니다. 일반적으로 함수는 수에서 수를 연결시켜주지만 사상은 나아가 함수와 함수, 공간과 공간 등을 연결시켜주는 큰 의미입니다. 그러나 의미는 함수와 비슷하게 어떤 공간으로 연결시켜주는 규칙이라고 생각하면 됩니다. 

Isomorphism (동형사상)

`Iso`는 동일하다는 의미를 지닌 단어입니다. 사상에 iso가 붙은 개념이며 서로 구조가 같은 두 group (군) 사이의 구조를 보존하는 사상 (map)을 의미합니다. 

정의는 다음과 같습니다. 

Vector space V와 W에 대하여 bijective한 linear transformation (선형 변환)이 존재하는 경우는 V는 W와 isomorphic하다고 부른다. 이때 bijective linear transformation을 V와 W사이의 isomorphism이라고 부른다 (V≃W) 

즉 동형은 가역, 전단사인 선형 변환을 이루는 두 벡터공간을 의미하며 그리고 그 선형변환을 동형 사상이라고 부릅니다 (아래에 injective, surjective, bijective의 개념이 나와있습니다). 

아래는 동형 사상에 따른 정리 4가지를 적어뒀습니다. 

정리 1) 벡터 공간 V와 W에 대하여  V≃W이기 위한 필요충분조건은 가역인 선형 변환 T: V → W 가 존재하는 것이며, 이때 T는 동형 사상이다

정리 2) 벡터 공간 V, W, Z에 대하여 다음의 명제가 성립한다
(i) V ≃ V
(ii) V ≃ W ⟺ W ≃ V
(iii) V ≃ W and W ≃ Z ⟹ V ≃ Z

정리 3) 유한 차원 F-벡터 공간 V, W에 대하여 V ≃ W 이기 위한 필요충분조건은 dim (V) = dim (W)이다.

정리 4) F 벡터공간 V에 대하여 V ≃ F^n 이기 위한 필요충분조건은 dim (V) = n

 

동형 사상을 배우는 이유는 로보틱스 분야에서 좌표변환과 회전 변환이 바로 동형 사상이기 때문입니다. 

공간상에서 한 개의 벡터를 표현하기 위해서 기준 좌표계에 따라서 다르게 표현은 할 수 있지만 결국은 표현하는 벡터는 하나이기에 동형 사상이라고 할 수 있습니다.

 

추가자료

1) Injective function (단사 함수)

단사 함수는 1:1 (one to one) 함수라고도 불리며 정의역의 원소 하나는 공역의 원소 단 한 개와 대응되는 원칙을 가진 함수를 의미합니다. 즉 각각의 원소들은 단 하나의 원상 (preimage)을 가진다는 의미와 동일합니다. 

정의는 아래와 같습니다. 

집합 (set) X (정의역)으로부터 집합 (set) Y (공역)으로의 함수 f: X -> Y일 때 

X의 원소에 대해 f(x1) = f(x2)이면 항상 x1 = x2일 경우 함수 f를 injective function이라고 정의함

그림으로 표현하면 아래와 같습니다. 

단사함수

2) Surjective function (전사 함수)

전사 함수는 위로 의 (on-to) 함수라고도 불리며 정의는 아래와 같습니다. 

집합 (set) X (정의역)으로부터 집합 (set) Y (공역)으로의 함수 f: X -> Y일 때

Y가 임의의 원소 y에 대하여 y = f(x)인 x가 항상 X에 존재하는 경우 함수 f를 전사 함수라고 정의함

즉, 전사 함수는 f(x) = Y와 필요충분조건이며 모든 공역의 원소들에게 대응된다는 의미를 지니기에 공역과 치역이 같은 의미를 지니기도 합니다. 

그림으로 표현하면 아래와 같습니다. 

3) Bijective function (전단사 함수)

전단사 함수는 전사와 단사가 동시에 만족되는 함수입니다. 즉 injective이면서 동시에 surjective한 함수를 의미하며 one-to-one correspondence라고 불리기도 합니다. 

정의는 다음과 같습니다. 

집합 (set) X (정의역)으로부터 집합 (set) Y (공역)으로의 함수 f: X -> Y일 때,

injective이면서 동시에 surjective이면 함수 f를 전단사 함수라고 정의한다

해당 정의를 통해서 모든 원소들은 일대일 대응을 하는 동시에 유일한 y와 x끼리 대응을 하는 구조로 구성됩니다. 

그림은 아래와 같습니다.