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전공 관련 (Major)/로보틱스 (Robotics)

Group (군) 이란

by Jayce_choi 2022. 10. 2.
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Group

군 (Group)은 X라는 원소 집합으로서 이항 연산 (Binary operation)을 만족하는 원소들로 구성된 집합입니다. 

이항 연산은 아래와 같습니다. 

1. Closure (닫힘)
: for all x and y in X, x ⋅ y is in X

의미는 x와 y가 X에 속 해져있을 때 이항 연산 ( ⋅ )에 의한 결과도 집합 X에 속한다는 의미입니다.

예시로는 순서쌍 (x, y)들의 곱 (Cartesian multiply) 연산에 대해서 닫혀있습니다. 

2. Associativity (결합)
: for all x, y and z in X, (x ⋅ y) ⋅ z is equal to x ⋅ (y ⋅ z)

의미는 x, y, z가 모두 집합 X에 속할때 (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)를 만족할때 결합 법칙이 성립한다를 의미합니다. 

예시로서 자연수의 그룹에서 + (더하기) 연산을 생각할 때 1+(2+3) = (1+2) + 3입니다. 마찬가지로 자연수의 어떤 수이든 더하기 연산에 대해서는 결합 법칙이 성립합니다. 

3. Identity (항등)
: There is some element, called `e`, such that for all x in X. Then, x  ⋅ e = e  ⋅ x = x

의미는 `e`라는 원소가 존재할때,  x  ⋅ e = e  ⋅ x = x 다음을 만족하는 원소이며 이는 항등원이라고 부릅니다. 위에서 예시를 들었던 자연수 그룹과 + (더하기) 연산을 생각해볼 때 1 + 0 = 0 + 1 = 1이 되어야 하는데 다만 0이라는 숫자는 자연수에 포함되지 않기에 자연수는 항등 성질을 만족하지 않으며 확장해서 정수 그룹에서는 만족할 수가 있습니다.  

4. Inverse (역)
: for all x in X, there is some element called x^(-1) such that x ⋅ x^(-1) = x^(-1) ⋅ x = e

역은 원소 x에 대해서 연산을 수행했을때 항등원이 되도록 만드는 원소를 의미합니다. 

 

Matrix Group

Matrix group은 로보틱스 (또는 강체 운동) 회전 연산을 하기 위해서 반드시 필요한 그룹입니다. 관련된 group은 아래와 같습니다. 

1. GLn (R): General Linear Group

일반선형 군을 의미하며 벡터 공간에서 n x n 행렬이며 가역 선형 변환 (Invertible)들이 이루는 군을 의미한다. 

 

2. SLn (R): Special Linear Group

특수 선형 군을 의미하며 행렬식의 determinant가 1인 n x n 행렬들이 이루는 군을 의미한다. 

이때 예를 들어서 A, B가 SL 그룹에 속할 때 아래와 determinant의 곱은 마찬가지로 1이어야만 한다. 

또한 A가 SL 그룹에 속할때 역 또한 1이므로 모든 inverse는 SL 그룹의 요소이다. 

 

3. O (n): Orthogonal group (Subgroup of the general linear group GLn (R))

GL 그룹의 subgroup이며 아래와 같은 성질을 만족하는 요소들로 구성된 군을 의미합니다. 

 

4. SO (R): Special orthogonal group 

Lie 군 중 하나인 Special Orthogonal 그룹은 O (n) 그룹에 속한 원소들 중에서 determinant가 1인 요소들로 구성된 군을 의미합니다. 

마찬가지로 O (n) 그룹에 속해있기 때문에 성질 또한 동일하며 대표적으로 Rotation matrix가 SO 그룹에 속해있습니다. 

*SO 그룹은 추가적으로 다른 포스팅에서 더 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.

 

5. SE (R): Special Euclidean group

Lie 군 중 하나인 Special Euclidean 3 (또는 SE(3)) 군은 3차원의 공간 상에서 강체의 변환과 관련된 행렬과 이에 닫혀있는 연산들로 구성된 군을 의미합니다. 

강체의 회전을 하되 벡터의 길이 (distance between points) 는 보존하는 회전 행렬들로 구성되며 SE (2)는 평면상의  변위를, SE (3)는 공간 상의 변위를 표현합니다.

 

6. U (R): Unitary group

Unitary 그룹은 orthogonal matrices로 구성되어있으며 복소수 (Complex) 행렬 원소 또한 포함되어있습니다. 때문에 O (n) 그룹이면서 complex 영역까지 포함하고 있습니다. 

복소수를 포함하고 있기 때문에 행렬의 전치 (transpose) 연산은 Hermitian (transpose and complex conjugation) 연산에 의해 수행됩니다. 

 

7. SU (R): Special Unitary Group

SU 그룹은 unitary matrix와 determinant가 1값을 가지는 행렬들로 구성된 그룹을 의미합니다. 

 

Simple Examples 

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