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전공 관련 (Major)/선형대수 (Linear Algebra)

[Linear Algebra] Vector spaces and Linear Equations

by Jayce_choi 2022. 9. 16.
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Vector space (벡터 공간) 

Vector space는 직역하면 벡터 공간이다. 즉 여러 Vector들이 모여서 만든 특정한 space를 의미한다. 그러나 모든 벡터들이 하나의 공간에 존재하는 게 아닌 다음과 같은 정의를 따라야 한다. 

Definition of Vector space: A vector is a set of "vectors" together with rules for vector addition and scalar multiplication.

즉 벡터들끼리 더해져도 더해진 결과가 한 공간에 존재해야하며, 임의 이 숫자 (스칼라) 값이 곱해져도 벡터의 길이가 증가할 뿐 같은 공간상에 존재해야만 Vector space안에 속해있다고 말할 수 있다. 이와 같이 더하기 (Addition), 곱셈 (Multiplication)이 가능한 것을 선형 결합 (Linear Combination)이라고 부른다. 해당 조건을 만족하는 vector들은 상상 이상으로 많기 때문에 무수히 많은 (infinite) vector들로 구성된 공간이다. 또한 이 모든 조합들을 만족하기 위해서는 모든 벡터 공간에는 영 (Zero) 벡터가 반드시 포함되게 된다 (예를 들어 +와 -연산을 하였을 때 0이 나올 수 있는 경우가 있기 때문이다). 

예를 들어서 다음을 살펴보자. 벡터는 우선 component들이 포함되어서 하나의 Vector를 만든다. 아래와 같이 component의 개수에 의해서 Vector space를 표현할수있다. 

그렇다면 아래와 같이 Component 1개이면 선으로 이뤄진 공간을 의미하며, 2개라면 평면, 3개일때는 3차원의 요소들로 이뤄진 Vector space이 된다. 

 

Subspace (부분 공간) 

부분 공간이란 무엇을 의미할까? 위에서 벡터 공간은 선형결합을 만족시키는 Vector들이 구성하는 공간이었다. 그러나 다음의 예제를 한번 살펴보자.

우리가 R^2 공간을 다룰때 임의의 component를 x와 y라고 생각해보자. 그리고 각각은 양수 범위에 존재한다. 

그렇다면 아래와 같이 1사분면에 component들이 존재한다고 생각할 수 있다. 

정의에 따른다면 addition이나 muliplication에 대해서 닫혀있어야 공간으로 정의가 가능하다. 하지만 x=1, y=1일 때 -1이라는 스칼라를 곱하게 되면 좌표는 (-1, -1)이 되어서 3 사분면에 해당하게 된다. 때문에 vector space라고 정의할 수 없다. 

그렇다면 Vector space보다는 작은 Vector space 또는 Subspace가 없을까? 

Subspace는 크게는 n차원 공간안에 포함되어야 하며, 또한 공간이기에 벡터들 간의 선형 결합을 만족해야 한다. 

다른 예제를 한번더 살펴보자. 

R^3 (공간)으로 확장을 하였을 때는 평면에 존재하던 벡터는 비로소 subspace가 된다. 위에서 언급된 (1,1) 좌표는 다음과 같이 각각 2개의 vector로 표현될 수 있으며 3차원 공간이므로 z=0인 성분이 추가가 된다. 이들을 span 하게 되면 노란색 공간이 나오게 되는데 바로 해당 공간이 R^3의 부분 공간이 된다. 

*흔히 (1, 0, 0)또는 (0, 1, 0)와 같은 벡터를 공간을 만드는 기저(base)라고 표현한다. 

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