반응형 전공 관련 (Major)76 Isomorphism (동형사상)이란 동형 사상의 정의에 들어가기 앞서서 사상이란 개념부터 살펴봅시다. 수학에서 사상 (morphism)은 수학적 구조를 보존하는 함수의 개념을 추상화한 것입니다. 문장을 적으니 이해하기 어려운듯하면서도 함수와 뜻이 비슷한듯합니다. 그렇다면 먼저 함수와 사상의 차이는 무엇인지 알아보겠습니다. Function (함수) vs Morphism (사상) 함수는 두 집합 X, Y가 있을 때 X의 각 원소 x에 대해 Y의 유일한 원소 f(x)를 대응시키는 규칙을 함수라고 부릅니다. 그러나 선형대수학, 복소해석학, 미적분학 등 고등학교에서의 수준에서 넘어가서 다변수의 함수로 넘어가게 되면 일반적인 방법으로 함수를 나타내고 정의하는 것이 까다롭게 됩니다. 때문에 사상은 함수보다 좀 더 general 한 표현이며 더 확장된 .. 2022. 10. 4. Group (군) 이란 Group 군 (Group)은 X라는 원소 집합으로서 이항 연산 (Binary operation)을 만족하는 원소들로 구성된 집합입니다. 이항 연산은 아래와 같습니다. 1. Closure (닫힘) : for all x and y in X, x ⋅ y is in X 의미는 x와 y가 X에 속 해져있을 때 이항 연산 ( ⋅ )에 의한 결과도 집합 X에 속한다는 의미입니다. 예시로는 순서쌍 (x, y)들의 곱 (Cartesian multiply) 연산에 대해서 닫혀있습니다. 2. Associativity (결합) : for all x, y and z in X, (x ⋅ y) ⋅ z is equal to x ⋅ (y ⋅ z) 의미는 x, y, z가 모두 집합 X에 속할때 (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅.. 2022. 10. 2. Jacobian Matrix, Hessian Matrix (자코비안, 헤시안 행렬) Jacobian Matrix (야코비언 또는 자코비안) Jacobian (자코비안)은 일차 미분의 요소들로 구성된 행렬로서 다변수 벡터 함수 (vector-valued function of multiple variables)에 대한 일차 미분 행렬입니다. 미분이란 목적 자체가 지역적인 변화 특성을 보기 위해서 사용되기 때문에 선형 근사나 또는 타깃 하는 함수의 maximum (or Minimum)을 찾는데 마찬가지로 사용됩니다. 이 과정을 통해서 비선형 변환을 선형 변환으로 근사 시키는 역할을 합니다. 마치 도형을 잘 개 쪼개어서 보는 느낌인 셈입니다. 로봇 영역에서의 자코비안 역할 자코비안 J는 로봇 manipulator의 각 조인트가 가진 각속도를 manipulator의 end effector의 선형.. 2022. 9. 20. [Linear Algebra] Vector spaces and Linear Equations Vector space (벡터 공간) Vector space는 직역하면 벡터 공간이다. 즉 여러 Vector들이 모여서 만든 특정한 space를 의미한다. 그러나 모든 벡터들이 하나의 공간에 존재하는 게 아닌 다음과 같은 정의를 따라야 한다. Definition of Vector space: A vector is a set of "vectors" together with rules for vector addition and scalar multiplication. 즉 벡터들끼리 더해져도 더해진 결과가 한 공간에 존재해야하며, 임의 이 숫자 (스칼라) 값이 곱해져도 벡터의 길이가 증가할 뿐 같은 공간상에 존재해야만 Vector space안에 속해있다고 말할 수 있다. 이와 같이 더하기 (Addition),.. 2022. 9. 16. Mobility, Degree of Freedom (DOF) 모빌리티란 직역을 하면 유동성, 기동성이라는 의미로 사물이 움직일 수 있는 정도를 의미합니다. 로보틱스에서는 다음과 같이 정의됩니다. Mobility : Minimum number of variables or coordinates required to specify all the locations of the mechanism (or minimum number of actuators, or minimum number of the dynamic equations) 모빌리티란 로봇의 메커니즘 구동을 모두 설명할 수 있는 독립적이고 최소의 변수들을 의미하며 이는 곧 액츄에이터 개수 또는 동역학 방정식의 수와 같습니다. 자유도라는 개념도 마찬가지로 로봇의 위치와 자세를 결정하기 위해서 필요한 변수들의 최소 개수.. 2022. 9. 15. *Runge-Kutta method (설명, 예제) Numerical Analysis (수치 해석학): 어떤 함수나 방정식의 해를 컴퓨터를 이용해 수치적으로 근사해서 근삿값을 구하는 알고리즘에 대한 연구를 하는 학문 수치해석을 사용하는 이유는 사람의 손으로는 풀 수가 없는 문제를 풀기 위해서 사용하며, 특히 미분 방정식이나 다양한 문제를 컴퓨터를 이용하여 풀 수 있다는 장점이 존재합니다. Runge-Kutta method 독일의 수학자 카를 `다비트 톨메 룽게`와 `마르틴 빌헬름 쿠타`가 개발한 수치 해석학의 알고리즘 중 하나입니다. 상미분 방정식의 해를 구하기 위해 고차원의 미분 식이 필요 없이 정확하게 근사할 수 있는 방법 중 하나입니다. 장점: Tayler series와 같이 고차원의 미분이 필요 없으며, 상당수의 temporal discretiza.. 2022. 9. 9. 제어공학 - 상태천이행렬 (State Transition Matrix) 1. 상태 천이 행렬 (State Transition Matrix) 상태천이행렬이란 시간의 변화에 따라서 상태의 변화를 야기시키는 행렬을 의미합니다. 좀 더 구체적으로는 시스템에 임의의 입력이 가해지지 않았을 때 시간 t=0에서 어떻게 시간 함수가 나타나는지를 보여주는 행렬이 상태 천이 행렬입니다. 상태 천이 행렬 일반식은 아래의 식과 같습니다. $$ \phi(t) = \mathcal{L}^{-1} [(sI-A)^{-1}] $$ 일반식이 나오는 과정을 한번 살펴보겠습니다. 우선 우리가 알고 있는 일반적인 상태 방정식에서 출발합니다. $$ \dot{x} = Ax(t) + Bu(t) $$ 하지만 이때 상태 천이 행렬은 입력이 0일 때의 행렬이므로 u(t) = 0입니다. 때문에 아래와 같이 단순한 미분방정식에.. 2022. 8. 16. 제어공학 - 상태 공간 (State-space) 1. 상태 공간 (State-space) 상태 공간은 말 그대로 시스템의 상태를 표현하는 집합을 의미합니다. 고차의 미분방정식을 여러 개의 미분방정식으로 표현한 것이기에 일반적인 SISO (single-input single-output) 시스템에서 더 확장되어서 MIMO (Multi-input multi-output)의 시스템을 제어하고 표현하기 위해 사용되는 분석법이자 개념입니다. 기본적으로 상태 공간을 표현하기 위해서 들어가는 방정식의 차수는 1차입니다. 더 높은 차수의 방정식이 들어갈 때는 1차원으로 구성된 상미분 방정식이 coupling 되어 상태 공간에 들어가 시스템을 표현하게 됩니다. 상태 공간을 이용한 해석은 주파수 영역 해석과는 다르게 MIMO 시스템의 시스템 해석 및 설계가 용이합니다... 2022. 8. 16. 제어공학 - 전달 함수 (Transfer function) 주파수 영역 분석은 고전 제어의 방식으로 주파수 영역 (Frequency domain)에서 상태 함수 (Transfer function)를 이용하여 시스템을 표현하고 분석하는 방법입니다. 1. Laplace Transform 라플라스 변형은 시간 (t)를 복소수 (s = sigma + jw) 평면으로 바꿔주는 방법입니다. $$ \mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt $$ $$ t \rightarrow s = \sigma + jw $$ *반대로 Inverse Laplace Transform (ILT)는 복소수 영역을 시간으로 바꿔주는 방법입니다. $$ \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2j\pi} \int_{\sigma.. 2022. 8. 15. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 9 다음 반응형
