[열역학] 7. Mass & Energy Analysis of Control Volume 1 (질량 유량,유동일, 유동에너지, 정상상태 유동)

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[열역학] 7. Mass & Energy Analysis of Control Volume 1 (질량 유량,유동일, 유동에너지, 정상상태 유동)

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이번 글에서는 에너지 보존 법칙을 Steady-State를 유지할 때 질량 및 체적 유동에 대한 공식들과 유체에 의한 일에 대해서 적어보도록 하겠습니다.

Conservation of Mass

질량 보존은 에너지처럼 보존되는 특성입니다. 그리고 질량은 과정(Process)이 진행되는 동안 새롭게 생성되거나 없어지지도 않습니다. 

단위 시간동안 유입된 질량 - 나간 질량 = CV에서 전체 질량 변화

과정이 진행되는 동안 Mass가 일정하기 위해서는 우리는 System을 닫힌 계로써 취급해야 합니다.

* Closed Systems : 닫힌계는 자연과학에서 외부와 물질의 소통이 없는 물리적 계를 가리키는 용어로, 열린계와 반대 개념을 말합니다.

좌측부터 고립계, 닫힌계, 열린계

 하지만 열역학에서 다루는 시스템 중에서는 Mass가 유입되는 시스템도 존재하기 때문에 Mass의 유출입과 관련된 계산을 하기 위해서는 System에서의 질량 유출의 톨게이트가 되는, 즉 경계면인 Control Volume을 설정해줘야 합니다.

해당 개념은 유체역학 때에도 사용이 되며 어떠한 현상을 분석하기 위해서 그 분석의 대상을 설정할 필요가 있고 그 대상이 특정한 양의 물질로 규정된다면 system이라고 하며, 특정한 경계 내의 공간으로 규정된다면 control volume이라고 합니다.

Mass & Volume Flow Rates 

Control Volume이 지정되었을 때 물 또는 증기가 흐르는 관에서의 에너지 및 질량 유량을 측정하기 위해서 다음과 질량 유량과 체적 유량의 개념을 우선 적어보겠습니다. 

우선 관에서의 유체 유동은 관 벽으로부터 중심까지의 속도 프로파일이 대칭적으로 나오며 속도도 다양하게 나옵니다. 실제 유체 속도는 벽에서 0이고, 파이프의 중심선이나 그 근처에서 최댓값이 되는데 때문에 어느 정도 정량화된 파악을 위해서는 관에서의 유체 평균 속도를 구하게 됩니다.

* 평균속도 ( V-average ) : 

* 질량 유량 (Mass Flow Rate) : 단위 시간당 흐르는 물체의 질량 ( 비압축성 유동 같은 경우 다음과 같이 표현됨 ) 

비압축성 유동이 아닌 좀 더 실제적인 질량 유동을 얻기 위해서는 여기서 유체 밀도 ρ, 미소 면적 dAc, dAc에 수직 한 유동 속도 성분 Vn에 대하여 미소 질량 유량을 다음과 같이 정의하고 적분을 통해서 관 단면적에 대해서 적분을 하면 실제 질량 유동을 이끌어 낼 수 있습니다.

우선 상단의 우측 그림에서 수직 속도는 속도와 직교 방향과의 내적을 통해서 얻을 수 있습니다. 얻어진 수직 속도를 이용하여 미소 질량 유동식에 대입할 수 있으며 적분을 함으로써 질량 유동 값을 이끌어낼 수 있습니다. 

* 체적 유량 (Volume Flow Rate) : 단위 시간 동안 흐르는 물체의 체적 

체적 유량도 마찬가지로 면적으로 적분을 수행하여 계산할 수 있습니다. 


본론으로 돌아와서 질량 보존에 대해 이해를 하기 위해서 Control Volume이 욕조로 잡힌 시스템에 대해서 살펴보겠습니다. 먼저 들어오는 물(50kg)이 있으며 나가는 물(30kg)이 존재합니다. 때문에 전체 CV에서는 20Kg의 질량 변화가 존재하므로 시간이 오래되면 욕조가 가득 차고 넘칠 것입니다.

해당 변화에 대해서 다음과 같이 일반적인 식으로 나타낼 수 있습니다. 들어온 질량과 나가는 질량을 뺄셈함으로써 질량 변화가 나오며 여기서 단위 시간에 대해서 미분을 한다면 질량 유동이 나오게 됩니다.

이러한 2개의 식을 Mass Balance 즉 질량 균형, 물질 수지라고 합니다. 

General Conservation of mass in rate form

 

Mass Balance for Steady-Flow Processes

Steady-Flow (정류)에서의 과정은 Control Volume 안에서 시간이 지나도 전체 총 질량 변화가 없는 과정을 말합니다. 시스템에서는 크게 2가지의 일이 일어납니다. 질량이 나가거나 들어오는 액션이 취해지는데 Steady Flow와 질량 보존의 법칙이 만족하기 위해서는 전체 질량이 Control Volume으로 들어오는 것이 나가는 것과 동일해야 합니다. 

여기서 우리가 관심 있어하는 것은 단위 시간당 흐르는 질량의 양이며 이는 곧 위에서 설명된 질량 유량과 동일합니다. 전체 들어오는 질량 유량은 나가는 질량 유량의 합과 동일하기에 출입구의 수가 많고 적음에 따라서 다음과 같이 2개의 식으로 표현됩니다. 

출입구가 많은 시스템 ( multiple inlets & outlets )
출입구가 한개인 시스템 ( Single Stream )

* 대부분의 공업 장치 및 시설들 (ex : Nozzle, diffusers, turbine, compressors, pump... etc)은 single stream으로 구성되어 하나의 입구로 들어와서 하나의 출구로 나가도록 구성되어 있습니다.  

체적(Volume)에 대해서도 만약 흐르는 유체가 액체이면서 비압축 성인 유체로 흐르게 된다면 다음과 같이 표현이 가능합니다. ( 반드시 비압축 성일 때 해당되는 식입니다. ) 

출입구가 많은 시스템 ( multiple inlets & outlets )
출입구가 한개인 시스템 ( Single Stream ) 


Flow Work and The Energy of a Flowing Fluid

관을 흐르는 유체는 기계에 힘을 작용하여 미는 작용을 수행함으로써 사람이 필요한 에너지를 생산하거나 특정 공업 일을 수행할 수 있습니다. 이러한 작업을 수행하도록 하는 일이나 에너지를 Flow Work 또는 Flow Energy라고 부릅니다.

Flow Work & Flow Energy : 질량을 밀어서 Control Volume에서 밀어내거나 또는 유입시키도록 하는 일 또는 에너지라고 부르며 이러한 Work는 반드시 Control Volume을 통한 지속적인 유동을 유지하기 위해서 필요합니다. 

어떠한 힘 F가 왼쪽에서 작용을 하여 L만큼 피스톤을 이동시킨다고 했을 때 해당 힘은 면적 A에 압력 P로 주는 것과 동일한 힘이 됩니다. 

그리고 유동에 의한 일(Work)은 힘에다가 거리를 곱한 것임으로 하단과 같이 표현이 됩니다. 해당 식이 바로 유체의 유동에 의한 에너지가 되겠습니다. 

추가적으로 유동하는 유체의 총 에너지(Total Energy)를 알기 위해서는 다른 요소들까지 합쳐져야 비로소 유체가 가진 총에너지를 알 수 있습니다. 기호는 theta로 표시합니다. 유체는 기본적으로 내부 에너지, 운동에너지, 위치에너지, 그리고 유동에 유체는 흐르는가 흐르지 않는가에 따라서 방금 위에서 언급된 유동에 의한 에너지 Term이 있을 수 있고 없을 수 있습니다. 

하단의 왼쪽 식은 단순 압축성 시스템에 대한 단위 질량 기준의 총 에너지 e (비유동 유체 : 밀폐계)를 표시한 것이며 오른쪽 식은 유체유동 시스템에 대한 단위 질량 기준의 총 에너지 θ (유동 유체 : 개방계)를 표시한 것입니다.

* 여기서 Internal Energy와 Flow Energy 2개를 통 틀어서 엔탈피(Enthalpy)로 정의합니다.  ( h = u + Pv )

* 운동에너지(Kinetic Energy) vs 유동 에너지(Flow Energy) 

헷갈릴 수 있는 둘의 차이는 유동 에너지 같은 경우 Mass가 움직일 때 가지는 압력에 의해서 생기는 에너지이며 운동에너지 같은 경우는 Mass의 속력에 의해서 생기는 에너지라고 생각하시면 되겠습니다. 


Energy Analysis of Steady-Flow Systems

정상 상태의 유동(Steady-Flow Process)에서는 Control Volume을 일정하게 지나갑니다. 때문에 내부에서는 에너지의 변화가 나타나지 않는 특징이 있으며 또한 검사 체적 속에 있는 각 점에서는 질량의 상태량이 시간에 따라 변하지 않기에 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 

따라서 연속 방정식 ( 검사 체적 내로 유입되는 질량 유량의 총합 = 검사 체적 밖으로 유출되는 질량 유량의 합 )이 성립되며

열역학 제1법칙에 적용을 하면 다음과 같습니다. 

검사 체적에 유입되는 열량, 일(기계적인 일), 유체 에너지(유동 에너지, 운동에너지, 내부 에너지, 위치에너지)는 동일하게 유출되는 열량, 일(기계적인 일), 유체 에너지(유동 에너지, 운동에너지, 내부 에너지, 위치에너지)와 같습니다.

 


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